La torre de Hanoi

EL ÁGORA DE THALES

Hace pocos días, en concreto el 14 de marzo, se celebró el Día internacional de las matemáticas, fecha que corresponde en formato anglosajón a las primeras cifras 3,14 del número Pi. En muchos países, este día ya se venía celebrando como el Día de Pi, por lo que la resolución de la UNESCO que en su 40ª Conferencia General lo proclamó como Día Internacional de las Matemáticas (40C/ Resolución 30 de 26 de noviembre de 2019), supuso el reconocimiento actual a las matemáticas por su importante papel para hacer frente a los desafíos de nuestro tiempo en ámbitos como la inteligencia artificial, la salud, el cambio climático, la energía y el desarrollo sostenible y la mejora de la calidad de vida de la sociedad en general.

Cada año se establece un lema para este día sobre el cual girarán las distintas actividades que se organizan por distintos colectivos. Así, la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas a la que pertenece la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales ha organizado distintas actividades bajo la denominación de “Matemáticas en la calle” ya que el lema para este año ha sido “Matemáticas para jugar”.

Apoyando este lema, dedicaremos esta sección en el día de hoy a describir un juego denominado “la torre de Hanoi”, cuyo inventor fue el matemático francés Édouard Lucas que lo comercializó en el año 1883. Podemos considerar que es un juego de mesa o mejor dicho un solitario compuesto por distintos discos perforados, de diferentes tamaños que están apilados en uno de los tres palillos, cuyo objetivo será colocarlos en el mismo orden, de mayor a menor tamaño en otro de los dos palillos restantes.

Al inicio del juego los discos están apilados de menor a mayor en uno de los palillos, de manera que para lograr el objetivo hay que ir moviendo un disco cada vez, situándolo en otro palillo, teniendo en cuenta que un disco no puede estar situado sobre otro disco de menor tamaño.

En la imagen aparece una torre de Hanoi formada por cinco discos, que habrá que mover a los palillos B o C de manera que queden en el mismo orden. El número de discos es variable, por lo que para practicar recomendamos comenzar con solo tres, para ir aumentando, ya que como es lógico, cuantos más discos se tengan mayor será el número de movimientos que se requieren para lograr el objetivo del juego. El número mínimo de movimientos que se requieren para lograrlo es 2n-1, siendo n el número de discos. Así, en una torre de tres discos, con siete movimientos se podría lograr el objetivo.

La historia cuenta que este juego tiene su origen en otra torre denominada “Torre de Brahma” que estaba formada por 64 discos de oro, en la que los sacerdotes movían los discos sin parar. Pensemos que aplicando la expresión anterior, como mínimo necesitarían 18.446.744.073.709.551.615 movimientos. Si consideramos que en cada movimiento podían tardar dos segundos, no resultará complicado calcular cuántos años necesitarían para terminar el juego. Si se consultan otras fuentes aparece que en lugar de 64 discos había 100 en dicha torre, lo que hará que aumente el tiempo que los sacerdotes necesitarían para cambiar los discos al otro palillo.

Podemos construir de forma sencilla los elementos necesarios para tener este juego, aunque también se puede recurrir a las opciones que nos facilita Internet, que incluyen juegos interactivos en los que comprobar la solución, aunque lo mejor será afrontar el reto de solucionarlo para tres discos, después para uno más, así hasta que incluso seamos capaces de encontrar cuál es la forma de resolverlo con cualquier número de discos, siempre con el número mínimo de movimientos.

Lo dejamos como reto para celebrar, aunque con algunos días de retraso, el Día internacional de las matemáticas jugando con la torre de Hanoi.

(*) Agustín Carrillo de Albornoz Torres, de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Actividad subvencionada por la Diputación Provincial de Jaén.