Números notables

EL ÁGORA DE THALES

Dedicaremos las siguientes líneas para hablar de números, en concreto de aquellos a los que le añadimos el calificativo de notables por cumplir una determinada propiedad. A lo largo de estas semanas, han aparecido distintos conjuntos de números como los naturales, enteros, racionales, reales y también aunque quizás no los recordemos de la época escolar, también los complejos. Incluso hemos citado a los números primos que son aquellos que solo admiten como divisores a la unidad y al propio número, llamando números compuestos a todos aquellos que no son primos.

Existe una gran cantidad de números notables que podemos decir tienen nombre propio, en ocasiones relacionado con alguna cualidad humana, por lo que citaremos a continuación algunos de ellos.

Entre los más conocidos, al menos para los matemáticos, encontramos los números perfectos que son aquellos en los que la suma de sus divisiones es igual a dicho número, evidentemente sin contar al propio número (suma de los divisores propios). Por ejemplo son números perfectos el 6 ya que sus divisores, sin considerar el 6, son el 1, 2 y 3, siendo 6 = 1 + 2 + 3. Otro número perfecto es el 28 que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los siguientes números perfectos que ya se conocían desde la antigüedad son el 496 y el 8.128. Estos números ya eran conocidos por los griegos, de hecho Euclides hace referencia a ellos en sus “Elementos”, aunque antes los había estudiado Pitágoras y se tienen evidencias que ya eran conocidos por los egipcios.

Encontrar números perfectos no es fácil, aunque con la ayuda de los ordenadores se han encontrado algunos más, hasta la fecha hay 51 números perfectos, el último descubierto en 2018 y no se ha demostrado si existen o no infinitos números que cumplan esta propiedad.

Tomando como base la relación de divisibilidad anterior, se definen los números amigos. Dos números de dirá que son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Así 220 y 284 son números amigos ya que los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, cuya suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220. Esta es la pareja más pequeña que existe de números amigos.

Estos números también eran conocidos por los pitagóricos, siendo el matemático iraquí Thábit ibn Qurra (826–901) quien encontró una fórmula para encontrar parejas de números que cumplieran esta propiedad, fórmula que también encontraron matemáticos como Fermat, Descartes, siendo ampliada por Euler en el siglo XVIII. Al igual que con los números perfectos, la ayuda de los ordenadores ha resultado esencial para llegar a más de un millón doscientas mil parejas de números amigos.

Con una pequeña variación con respecto a los números anteriores, se definen los números novios o casi-amigos, quizás este último nombre está más en consonancia con la época actual. Dos números son casi-amigos si cada uno es igual a la suma de los divisores del otro menos uno. Así los números 48 y 75 son casi amigos ya que 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 -1, y 75 = 1 + 2 + 3 + 4+ 6 + 8 + 12 + 16 + 24 -1. Las siguientes parejas de números casi-amigos, también llamados prometidos son (140, 195), (1.050, 1.925). Una característica de estas parejas es que tienen paridad distinta, uno es par y el otro impar.

La felicidad también es una cualidad asignada a los números, siendo un número feliz si al repetir el proceso de sumar los cuadrados de sus dígitos se obtiene 1 como resultado final. Aclaremos la definición con un ejemplo para comprobar que el 13 es un número feliz. Calculamos los cuadrados de las dos cifras del número que son el 1 y el 3. 12 + 32 = 10. Repetimos el proceso para las dos cifras del resultado anterior, el 1 y el 0, 12 + 02 = 1. Como el resultado es 1, el número 13 es feliz, siendo además un número primo, se dirá que es un primo feliz. Como es lógico, todos aquellos números que no cumplen la condición anterior se dirá que son infelices.

Hay más números notables, a los que dedicaremos esta columna en otro momento.

(*) Agustín Carrillo de Albornoz Torres, de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Actividad subvencionada por la Diputación Provincial de Jaén.