Teorema del final feliz

EL ÁGORA DE THALES

En matemáticas nos podemos encontrar con teoremas que tienen unos nombres curiosos como por ejemplo el “Teorema de los monos infinitos” del cual se habló en esta misma sección hace un tiempo. Hoy vamos a hablar de otro teorema con nombre curioso, el “Teorema del final feliz”.

El teorema se enuncia de la siguiente manera: cualquier conjunto de cinco puntos en el plano en posición general tiene un subconjunto de cuatro puntos que forman los vértices de un cuadrilátero convexo, es decir, un cuadrilátero en el que sus dos diagonales se quedan dentro del cuadrilátero.

Este fue uno de los resultados originales que condujeron al desarrollo de la teoría de Ramsey que lo que estudia es el mínimo número de elementos que se necesitan para que se cumpla alguna propiedad. Como caso particular de esta teoría está el “Teorema de la amistad”, que dice que en cualquier grupo de seis personas, existen tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas.

El teorema al que hacemos referencia tuvo varios protagonistas: el prolífero matemático Paul Erdös, el ingeniero químico George Szekeres, y la física y amante de las matemáticas Esther Klein. Casi todos los domingos durante el invierno de 1933 en Budapest, estos tres personajes junto a un pequeño grupo de estudiantes se reunían en algún lugar de la ciudad en un parque o café para hablar de matemáticas. En una ocasión, Esther desafió al grupo a resolver un curioso problema de geometría. Klein preguntó si alguien podría probar que un cuadrilátero convexo tiene que estar presente en un conjunto dado de cinco puntos que se esconde en un avión, sin que estén tres puntos alineados. Después de dejar que sus amigos reflexionaran sobre el problema, Esther les hizo ver de forma gráfica que siempre era posible, incluso en el caso extremo en el que tres de ellos formaran triángulo y los otros dos fueran interiores al mismo.

El nombre del teorema fue dado por Paul Erdös, y fue debido a que el estudio y trabajo en la demostración del teorema de sus amigos George y Esther, les condujo al matrimonio, un final sin duda feliz. En matemáticas siempre se intenta generalizar los resultados y a día de hoy tenemos una conjetura llamada de Erdös-Szekeres que dice que el número mínimo de puntos necesarios para asegurar un polígono convexo de un número determinado de lados n se obtiene de la fórmula: 2^(n-2)+1. Si quiero asegurarme un pentágono convexo deberé tomar un mínimo de 9 puntos, 17 para el hexágono, 33 para el heptágono... es decir las potencias de dos más una unidad. Si en la recepción de un cóctel queremos asegurar que al menos cinco mesas estén visualizadas entre sí, un pentágono convexo, y el reparto de mesas se hace al azar, deberemos colocar un mínimo de nueve mesas, sin que se tapen la visión entre ellas.

Esther conoció a George Szekeres en la universidad y se casaron en 1937. Huyendo de la amenaza nazi, viajaron en 1939 a China donde permanecieron hasta 1948, que fue cuando la Universidad de Adelaida ofreció un puesto a George y fueron a Australia. Durante los primeros tres años de estancia en Australia los Szekeres compartieron un pequeño apartamento con sus amigos George y Márta Svéd, ésta gran amiga de la infancia de Esther. De allí pasaron a vivir a Sidney donde a George le ofrecieron un cargo de matemática pura en la universidad de Gales del Sur. Esther se dedicó al cuidado de sus hijos y también impartió algunas clases en la Universidad, su pasión era la Geometría, campo en el que llegó a plantear numerosísimos problemas, algunos propuestos en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas. La historia de amor de George y Esther fue larga, cercana a los setenta años de vida en común. Esther estaba ingresada en una residencia y George se mudó a la habitación que ella ocupaba. Unas semanas después concluyo la vida de ambos, el mismo día con apenas una hora de diferencia, él con 94 años y ella con 95. Paul acertó de pleno al nombrar el teorema.

(*) Francisco Haro Laguardia, de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

Actividad subvencionada por la Diputación Provincial de Jaén.