La paradoja del cumpleaños
EL ÁGORA DE THALES
Supongamos que estamos en una reunión y nos preguntamos si habrá dos personas que tengan el mismo cumpleaños. Esta situación, conocida como la paradoja del cumpleaños, plantea cuántas personas deben asistir a esta reunión para tener una probabilidad del 50% de que existan dos que compartan el mismo cumpleaños. Este es un problema planteado inicialmente en 1927 por el matemático ingles Harold Davenport (1907 – 1969), pero que no llegó a publicarlo, hecho que si hizo en 1939 el matemático estadounidense, aunque de origen austriaco, Richard von Mises (1883 – 1953). Lo realmente asombroso de este planteamiento es la solución que podemos pensar que se necesitan muchas personas y no es así. Este problema ha sido muy estudiado desde su propuesta y sus resultados sirven para analizar otras situaciones de coincidencias que ocurren en la vida cotidiana. Considerando que el año tiene 365 días, el número de personas que tendrían que estar en la reunión para que la probabilidad de que dos coincidan en el cumpleaños sea del 50% es que haya 23 o más personas, siempre elegidas de forma aleatoria. Supongo que nos parecerán muy pocas, pero esa es la realidad que devuelve la aplicación de las teoría de las probabilidades a esta situación. Con 23 personas la probabilidad de existir dos personas con el mismo cumpleaños es del 50,7%, mientras que si la reunión está compuesta por 57 personas o más, esta probabilidad es mayor del 99%, y como es evidente para tener una probabilidad del cien por cien, el número tendría que haber como mínimo 366 personas, tal y como establece el principio del palomar con el que completaremos la sección este lunes.
En la gráfica aparece representada la probabilidad en función del número de personas que asisten a la reunión, en la que está marcado el punto que corresponde a 23 personas cuya probabilidad es de 0,507, o lo que es lo mismo del 50,7%. Estos resultados nos pueden parecer imposibles o erróneos, pero es un problema resuelto de manera correcta. Para resolver la probabilidad anterior hemos citado el principio del palomar o de Dirichlet, en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), que establece que si hay más palomas que palomares, al menos alguno de los palomares tendrá que contener por lo menos dos palomas. A diferencia del problema planteado al inicio, este principio nos puede resultar obvio, pero la realidad es que tiene numerosas aplicaciones, no solo en combinatoria, sino en otros campos como la teoría de grafos, la geometría, el análisis matemático, la teoría de números, las ciencias de la computación o la resolución de problemas, entre otros.
Es un principio tan simple que no requiere demostración. Pensemos que en lugar de palomas tenemos objetos y distintos casilleros, si hay más objetos que casilleros y deseamos guardar todos los objetos en los casilleros, no quedará más remedio que algún o algunos casilleros contengan más de un objeto, por lo menos habrá uno que cumpla esta condición.
Como muestra de alguna aplicación en la que se utiliza este principio planteamos la siguiente: “En un triángulo equilátero de lado 2 (recordemos que un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales), dibujados cinco puntos cualesquiera en su interior, al menos dos de ellos están a una distancia uno del otro que es menor que una unidad”. La demostración no es complicada de entender, basta unir los puntos medios de cada lado para que el triángulo inicial quede dividido en cuatro triángulos, también equiláteros, de lado 1, imagínense la figura. Como tenemos que dibujar cinco puntos, al menos dos de ellos estarán dentro del mismo triángulo equilátero de lado 1, por lo que su distancia será menor que una unidad. Podemos pensar que es un ejemplo con poca aplicación práctica, pero la realidad es otra, dadas las numerosas demostraciones que se logran aplicando este principio.
(*) Agustín Carrillo de Albornoz Torres, de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.
Actividad subvencionada por la Diputación Provincial de Jaén.