Matemáticas: problemas o teorías

Es un tópico común en los ambientes de investigación matemática señalar que hay dos tipos de personas diferentes: los que desarrollan teorías y los que resuelven problemas. Pero la contraposición entre ambos trabajos matemáticos es simplemente una forma de situarse. A lo largo de la historia han sido muchos los problemas que en su resolución o en desarrollo posterior han dado lugar a teorías más o menos amplias. Ejemplo de ello es la resolución por Euler (siglo XVIII) del problema de los puentes de Könisberg. Esta ciudad (actualmente Kaliningrado) estaba atravesada por el río Pregel, con una isla en el centro que formaba con la ciudad cuatro regiones atravesadas por siete puentes. Era un pasatiempo común entre los habitantes intentar un paseo pasando por todos los puentes una sola vez volviendo al punto de partida. Nadie lo había logrado y constituía un reto para los paseantes de la ciudad.

Era un problema (¿banal?, ¿lúdico?, aparentemente “no matemático”). Un problema que Euler resolvió de forma negativa al demostrar que era imposible: nunca se podría hacer un recorrido así. Para demostrarlo empleó un sistema de representación donde las tierras se representaban por puntos y los puentes por líneas de conexión entre ellos. Dio comienzo así a lo que entonces se llamó el Analysis situs, una rama de la geometría donde lo fundamental era la disposición espacial de los elementos geométricos y no, las medidas de éstos, (longitudes, áreas, volúmenes). Posteriormente esa forma de tratamiento de problemas se ha generalizado a la teoría de grafos, y a la topología. Vemos cómo un problema aparentemente trivial, lúdico y sin interés matemático ha dado lugar a una teoría, gran rama del conocimiento matemático actual con interesantes aplicaciones en muchos problemas prácticos. Sin embargo hay matemáticos curiosos en estos campos. El húngaro Paul Erdös (1913-1996), dedicó su vida a viajar por universidades donde algunos profesores tenían problemas sin resolver, ayudándoles a resolverlos, y trabajando así en los campos más variados, enfrentándose directamente al problema planteado sin tener que situarse previamente en una teoría.

En la década de los 80 del siglo pasado, cuando los profesores de todo el mundo estaban replanteándose la enseñanza de las matemáticas, después de un amplio debate se dedujo que “la resolución de problemas” (problem solving) debía estar en el corazón de la enseñanza de las matemáticas. Desde entonces este enfoque ha ido experimentando mayor importancia y actualmente es imprescindible si queremos una enseñanza de las matemáticas eficiente: El planteamiento al alumno de una situación donde se aborda un problema para el que ha de diseñar un modelo matemático que le permita encontrar la solución (una, todas, o ninguna). La motivación del alumno está ligada a la situación que se le plantea: cuanto más cercana sea a planteamientos o intereses personales, más interés tendrá el alumno en involucrarse en el problema. Las pruebas PISA que tanta repercusión mediática tienen en nuestro país, usan este tipo de problemas, y las Olimpiadas Matemáticas cuya XXX edición de la fase nacional empiezan la próxima semana en Jaén, usan también este tipo de situaciones.